|
|
 |
Условие
При каких натуральных n > 1 существуют такие натуральные b1, ..., bn (не все из которых равны), что при всех натуральных k число
(b1 + k)(b2 + k)...(bn + k) является степенью натурального числа? (Показатель степени может зависеть от k, но должен быть больше 1.)
Решение
Все числа в решении считаются натуральными, если не оговорено противное.
Пусть n – составное число, то есть n = rs, где r > 1, s > 1. Тогда достаточно рассмотреть числа b1 = ... = br = 1, br+1 = ... = bn = 2. Очевидно, что при всяком k число (b1 + k)...(bn + k) – r-я степень.
Пусть n – простое число и есть требуемый набор (b1, ..., bn). Без ограничения общности можно считать, что b1, ..., bq – попарно различные числа, а каждое из чисел bq+1, ..., bn равно одному из b1, ..., bq (q > 1, так как не все числа равны). Пусть среди чисел b1, ..., bn имеется si равных bi, где
1 ≤ i < q, s1 + ... + sq = n.
Рассмотрим q различных простых чисел p1, ..., pq, которые больше всех bi. Числа попарно взаимно просты и 0 < ri < pi <
. По китайской теореме об остатках найдётся такое целое m, что
при всех i от 1 до q. Пусть (b1 + m)...(bn + m) = uv.
то есть делится на pi и не делится на
. При j ≠ i, 1 ≤ j ≤ q, имеем 0 < |bi – bj| < pi, поэтому bj + m на pi не делится.
Таким образом, в каноническом разложении числа (b1 + m)...(bn + m) на простые множители каждое число pi содержится ровно в степени si.
Значит, число v является делителем всех si, а значит, и делителем их суммы n. При этом v < n (так как q > 1), поэтому v = 1.
Ответ
При составных n.
