ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 111875
Темы:    [ Китайская теорема об остатках ]
[ Произведения и факториалы ]
[ Простые числа и их свойства ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

При каких натуральных  n > 1  существуют такие натуральные b1, ..., bn  (не все из которых равны), что при всех натуральных k число
(b1 + k)(b2 + k)...(bn + k)  является степенью натурального числа? (Показатель степени может зависеть от k, но должен быть больше 1.)


Решение

  Все числа в решении считаются натуральными, если не оговорено противное.
  Пусть n – составное число, то есть  n = rs,  где  r > 1,  s > 1.  Тогда достаточно рассмотреть числа b1 = ... = br = 1,  br+1 = ... = bn = 2.  Очевидно, что при всяком k число  (b1 + k)...(bn + k)  – r-я степень.
  Пусть n – простое число и есть требуемый набор  (b1, ..., bn).  Без ограничения общности можно считать, что b1, ..., bq – попарно различные числа, а каждое из чисел bq+1, ..., bn равно одному из b1, ..., bq  (q > 1,  так как не все числа равны). Пусть среди чисел b1, ..., bn имеется si равных bi, где
1 ≤ i < qs1 + ... + sq = n.
  Рассмотрим q различных простых чисел p1, ..., pq, которые больше всех bi. Числа    попарно взаимно просты и  0 < ri < pi < .  По китайской теореме об остатках найдётся такое целое m, что    при всех i от 1 до q. Пусть  (b1 + m)...(bn + m) = uv.
    то есть делится на pi и не делится на  .  При  j ≠ i,  1 ≤ j ≤ q,  имеем  0 < |bi – bj| < pi,  поэтому  bj + m  на pi не делится.
  Таким образом, в каноническом разложении числа  (b1 + m)...(bn + m)  на простые множители каждое число pi содержится ровно в степени si.
  Значит, число v является делителем всех si, а значит, и делителем их суммы n. При этом  v < n  (так как  q > 1),  поэтому  v = 1.


Ответ

При составных n.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2008
Этап
Вариант 5
Класс
Класс 10
задача
Номер 08.5.10.7

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .