ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 111878
Темы:    [ Кубические многочлены ]
[ Свойства коэффициентов многочлена ]
[ Алгебраические неравенства (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Числа a, b, c таковы, что уравнение  x³ + ax² + bx + c = 0  имеет три действительных корня. Докажите, что если  –2 ≤ a + b + c ≤ 0,  то хотя бы один из этих корней принадлежит отрезку  [0, 2].

Решение

Пусть x1, x2, x3 – корни многочлена  P(x) = x³ + ax² + bx + c;  тогда  P(x) = (x – x1)(x – x2)(x – x3).  Заметим, что  P(1) = 1 + a + b + c,  поэтому
–1 ≤ (1 – x1)(1 – x2)(1 – x3) ≤ 1.  Этого не может быть, если все три числа  1 – x1,  1 – x2,  1 – x3  по модулю больше 1. Значит, для какого-то корня (пусть x1) имеем  |1 – x1| ≤ 1,  то есть  0 ≤ x1 ≤ 2,  что и требовалось.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2008
Этап
Вариант 5
Класс
Класс 11
задача
Номер 08.5.11.1
олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2008
Этап
Вариант 5
Класс
Класс 9
задача
Номер 08.5.9.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .