Задача 111878
|
|
 |
Условие
Числа a, b, c таковы, что уравнение x³ + ax² + bx + c = 0 имеет три действительных корня. Докажите, что если –2 ≤ a + b + c ≤ 0, то хотя бы один из этих корней принадлежит отрезку [0, 2].
Решение
Пусть x1, x2, x3 – корни многочлена P(x) = x³ + ax² + bx + c; тогда P(x) = (x – x1)(x – x2)(x – x3). Заметим, что P(1) = 1 + a + b + c, поэтому
–1 ≤ (1 – x1)(1 – x2)(1 – x3) ≤ 1. Этого не может быть, если все три числа 1 – x1, 1 – x2, 1 – x3 по модулю больше 1. Значит, для какого-то корня (пусть x1) имеем |1 – x1| ≤ 1, то есть 0 ≤ x1 ≤ 2, что и требовалось.
