Задача 111884
|
|
 |
Условие
В нашем распоряжении имеются 32k неотличимых по виду монет, одна из которых фальшивая– она весит чуть легче настоящей. Кроме того, у нас есть трое двухчашечных весов. Известно, что двое весов исправны, а одни– сломаны (показываемый ими исход взвешивания никак не связан с весом положенных на них монет, т.е. может быть как верным, так и искаженным в любую сторону, причем на разных взвешиваниях– искаженным по-разному). При этом неизвестно, какие именно весы исправны, а какие сломаны. Как определить фальшивую монету за 3k + 1 взвешиваний?Решение
Будем обозначать фальшивую монету ФМ. Пусть ФМ находится среди 3d монет. Заметим, что если мы положим на чашки исправных весов по 3d–1 монет, то при любом исходе взвешивания число монет, которые могут оказаться фальшивыми, окажется равным 3d–1.Лемма. Из 32k монет за 3k взвешиваний можно либо найти фальшивую, либо найти три монеты, среди которых находится фальшивая, и при этом найти одни исправные весы.
Индукция по k. База при k = 1. Расположим монеты в виде квадрата 3×3. Занумеруем его строки и столбцы цифрами от 1 до 3, а монеты – соответственно парами этих цифр; например, монета в первой строке и втором столбце получит номер 12. Сравним монеты первой и второй строчек на первых весах; затем сравним монеты первого и второго столбца на вторых весах. Предположим, что первые и вторые весы исправны. Тогда в любом случае эти взвешивания позволяют однозначно определить ФМ. Можно считать, что это – монета 11. Тогда, если сломаны первые весы, то ФМ находится в первом столбце, а если вторые – то в первой строке. Третьим взвешиванием на последних весах сравним 12 + 13 с 21 + 31. Если весы в равновесии, то ФМ может оказаться только 11; зато мы не знаем, какие весы сломаны. Пусть одна из чаш оказалась легче (например, 12 + 13). Это означает, что показания третьих весов противоречат показаниям вторых, а тогда первые весы – исправные, и мы нашли три монеты (лежащие в первой строке), среди которых обязана быть ФМ. Переход. Пусть k > 1, и у нас есть 3k монет. Объединим их в группы по 9 штук, назвав каждую новой монетой. По предположению индукции, мы можем за 3k – 3 выяснить либо фальшивую среди этих 32(k – 1) монет, либо найти исправные весы и три новых монеты, среди которых есть фальшивая. В первом случае, пользуясь утверждением базы индукции для этих 9 монет (составляющих найденную новую монету), мы можем за 3 взвешивания сделать требуемое. Во втором мы получили исправные весы и 27 кандидатов на фальшивую монету. Тогда за следующие 3 взвешивания на исправных весах мы уменьшим количество кандидатов до 9, до 3 и до 1, то есть найдем фальшивую. Переход, а вместе с ним и лемма, доказаны. Теперь легко получить решение задачи. Сделаем 3k взвешиваний согласно лемме. Если мы уже нашли фальшивую монету, то мы совершили требуемое. Иначе мы нашли исправные весы и 3 монеты, среди которых есть фальшивая. Тогда за последнее взвешивание на этих весах мы из этих 3 монет найдем фальшивую. Улучшив процедуру, можно добиться даже меньшего числа взвешиваний. Например, можно показать, что из 3n(n + 1) монет фальшивая находится за (n + 1)2 взвешиваний.
