Задача 111906

Темы:    [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Биссектриса угла ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Автор: Богданов И.И.

На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC выбрана точка K, для которой  CK = BC.  Отрезок CK пересекает биссектрису AL в её середине.
Найдите углы треугольника ABC.

Решение

  Пусть  ∠A = 2α,  а O – точка пересечения отрезков CK и AL (см. рис.). Тогда CO – медиана к гипотенузе прямоугольного треугольника ACL. Значит,
AO = OC = OL,  а  ∠OCA = ∠OAC = ∠OAK = α.

  Так как треугольник CBK равнобедренный,  ∠B = ∠BKC = ∠ACK + ∠KAC = 3α.
  Отсюда  2α + 3α = ∠A + ∠B = 90°.  Значит,  α = 18°.  Соответственно,  ∠B = 3·18° = 54°,  а  ∠A = 2·18° = 36°.

Ответ

36°, 54°, 90°.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	72
Год	2009
Класс
Класс	8
задача
Номер	2