Задача 111920

Темы:    [ Средние величины ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Центральный угол. Длина дуги и длина окружности ] [ Процессы и операции ] [ Инварианты ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Шанин И.А.

На кольцо свободно нанизано 2009 бусинок. За один ход любую бусинку можно передвинуть так, чтобы она оказалась ровно посередине между двумя соседними. Существуют ли такие изначальная расстановка бусинок и последовательность ходов, при которых какая-то бусинка пройдёт хотя бы один полный круг?

Решение

  Пусть при каком-то начальном расположении бусинок нашлась последовательность ходов, в результате которой какая-то бусинка прошла полный круг против часовой стрелки или больше. Обозначим начальное положение этой бусинки O. Тогда положения бусинок определяются углом от точки O с точностью до 2π, причём углы по часовой стрелке будем считать со знаком минус, а углы против часовой стрелки со знаком плюс. Занумеруем бусинки по порядку. Обозначим через α_i угол до i-й бусинки. Тогда вначале  – 2π < α₁ < α₂ < ... < α₂₀₀₉ = 0  (см. рис.).

  Заметим, что перемещению i-й бусинки соответствует замена α_i на  ½ (α_i–1 + α_i+1)  при  i = 2, ..., 2008,  на  ½ (α₂ + α₂₀₀₉ – 2π)  при  i = 1,  на
½ (α₁ + α₂₀₀₈ + 2π)  при  i = 2009.  То, что бусинка O прошла полный круг или более, означает, что угол α₂₀₀₉ стал не меньше 2π. Но вначале
α_i < ^2πi/₂₀₀₉,  и при вышеуказанных преобразованиях это свойство сохраняется. Значит, α₂₀₀₉ всегда меньше 2π. Противоречие.

Ответ

Не существуют.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	72
Год	2009
Класс
Класс	10
задача
Номер	4