Задача 115355
|
|
 |
Условие
Целые числа a, b, c таковы, что значения квадратных трёхчленов bx² + cx + a и cx² + ax + b при x = 1234 совпадают.
Может ли первый трёхчлен при x = 1 принимать значение 2009?
Решение
Подставляя x = 1234 в оба трёхчлена и приравнивая их, получаем 1234²b + 1234c + a = 1234²c + 1234a + b, или
(12342 – 1)b + (1234 – 1234²)c – 1233a = 0. Разделив на 1233, имеем 1235b – 1234c – a = 0, то есть a = 1235b – 1234c. Тогда значение первого трёхчлена в точке 1 равно a + b + c = 1236b – 1233c = 3(412b – 411c), то есть кратно 3; значит, оно не может равняться 2009.
