Задача 115368

Темы:    [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ] [ Углы между биссектрисами ] [ Вспомогательная окружность ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ]

Сложность: 5- Классы: 8,9

Условие

Автор: Прокопенко Д.

В треугольнике ABC угол A равен 60^o . Пусть BB₁ и CC₁  — биссектрисы этого треугольника. Докажите, что точка, симметричная вершине A относительно прямой B₁C₁ , лежит на стороне BC .

Решение

Пусть I  — точка пересечения биссектрис треугольника ABC . Тогда B₁IC₁ = BIC = 180^o - IBC - ICB = 180⁰ - ( ABC + ACB) / 2 = 180^o - 60^o = 120^o = 180^o - B₁AC₁ . Значит, четырёхугольник AB₁IC₁ вписан в окружность. Отсюда AC₁B₁ = AIB₁ = ABI + BAI = ( A + B) / 2 (поскольку AIB₁  — внешний в Δ ABI ), и аналогично AB₁C₁ = ( A + C) / 2 . Пусть описанная окружность треугольника BC₁I пересекает прямую BC в точке K (легко понять, что эта точка не может попасть на продолжение стороны BC ). Тогда IKC = 180^o - BKI = BC₁I = 180^o - AC₁I = AB₁I = 180^o - IB₁C , то есть четырёхугольник IB₁CK также вписан. Наконец, поскольку четырёхугольники AB₁IC₁ , BC₁IK и CKIB₁ вписаны, мы имеем KC₁B₁ = KC₁I + IC₁B₁ = KBI + IAB₁ = ( B + A) / 2 = AC₁B₁ , и аналогично KB₁C₁ = KB₁I + IB₁C₁ = ( C + A) / 2 = AB₁C₁ . Значит, треугольники AB₁C₁ и KB₁C₁ равны по стороне B₁C₁ и двум прилежащим к ней углам. Тогда они симметричны относительно B₁C₁ , а тогда и точки A и K также симметричны. Поскольку точка K лежит на BC , решение закончено.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2009-2010
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	9
задача
Номер	06.4.9.4