ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 115392
Темы:    [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ]
[ Уравнения в целых числах ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Вася отвечает теорему Виета: "Сумма трёх коэффициентов квадратного трёхчлена равна одному из его корней, а произведение – другому".
Экзаменатор: "Неверно".
Вася: "Как же неверно? Я проверил для случайно выбранного трёхчлена, и всё получилось".
Какой это мог быть трёхчлен, если его коэффициенты – целые числа?


Решение

  Пусть m – корень, равный сумме коэффициентов, n – корень, равный их произведению, a – старший коэффициент. Если коэффициенты целые, то их сумма и произведение m, n тоже целые.
  Согласно теореме Виета уравнение имеет вид  ax² – a(m + n)x + amn = 0.
  Поэтому фактически Вася утверждает, что  m = a – a(m + n) + amnn = – a³(m + n)mn.
  Перепишем первое равенство в виде  m = a(1 – m)(1 – n);  тогда  1 = a(1 – m)(1 – n) + (1 – m).
  Таким образом, 1 делится на  1 – m,  откуда  m = 0 или 2.  Если  m = 0,  то ввиду второго равенства  n = 0,  а тогда из первого равенства  a = 0,  что невозможно для старшего коэффициента трёхчлена.
  Остаётся случай  m = 2.  Тогда второе равенство превращается в  n(1 + 2a³n²) = 0,  откуда  n = 0.  Теперь из первого равенства находим, что  a = –2,  и искомый трёхчлен равен  –2x² + 4x.


Ответ

–2x² + 4x.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир им.Ломоносова
номер/год
Год 2009
задача
Номер 8

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .