Задача 115402

Темы:    [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вспомогательная окружность ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Емельянов Л.А.

На сторонах AB и BC параллелограмма ABCD выбраны точки A₁ и C₁ соответственно. Отрезки AC₁ и CA₁ пересекаются в точке P . Описанные окружности треугольников  AA₁P и CC₁P вторично пересекаются в точке Q , лежащей внутри треугольника  ACD . Докажите, что PDA= QBA .

Решение

Обозначим описанные окружности треугольников  AA₁P и  CC₁P через  ω_A и  ω_C , соответственно. Пусть лучи AQ и CQ пересекают стороны  CD и  AD в точках  C₂ и  A₂ соответственно. Тогда из параллельности AB|| CD и вписанности четырехугольника  AA₁PQ получаем PCC₂=180^o- AA₁P= AQP=180^o- PQC₂ , то есть четырехугольник  CPQC₂ также вписан. Это значит, что C₂ лежит на  ω_C ; аналогично, точка  A₂ лежит на  ω_A рисунке.
Далее, так как четырехугольник AA₁PA₂ вписан и AB|| CD , имеем A₂PC=180^o- A₁PA₂= A₁AA₂=180^o- A₂DC , то есть четырехугольник  A₂PCD также вписан. Тогда PDA= PDA₂= PCA₂= PCQ . Аналогично получаем, что четырехугольник  BA₁QC вписан, откуда QBA= QCA₁= PCQ . Отсюда следует PDA= PCQ= QBA , что и требовалось доказать.
Утверждение задачи остается верным, если Q не лежит в треугольнике  ACD .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2008-2009
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	11
задача
Номер	06.4.11.7