Задача 115413

Темы:    [ Биссектриса делит дугу пополам ] [ Диаметр, основные свойства ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вспомогательная окружность ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Условие

Автор: Емельянов Л.А.

В треугольнике  ABC проведена биссектриса  BD (точка  D лежит на отрезке  AC ). Прямая  BD пересекает окружность  Ω , описанную около треугольника  ABC , в точках  B и  E . Окружность  ω , построенная на отрезке  DE как на диаметре, пересекает окружность  Ω в точках  E и  F . Докажите, что прямая, симметричная прямой  BF относительно прямой  BD , содержит медиану треугольника  ABC .

Решение

Пусть M  — середина стороны AC , прямая BM пересекает окружность Ω вторично в точке  F' , а прямая  FM пересекает окружность  Ω вторично в точке B' . Так как ABE = CBE , то E  — середина дуги  AC , поэтому M и E лежат на серединном перпендикуляре к отрезку AC . Значит, EMD=90^o и, следовательно, M лежит на окружности ω . Имеем: = B'FE = MFE = MDE = CDE = ( + )= ( + ) = . Из равенства дуг B'CE и BAE следует, что точки B и B' симметричны относительно , поэтому прямые  BM и  B'M (а стало быть, и точки F' и F ) симметричны относительно . Последнее утверждение означает, что = , откуда FBE = F'BE . Получаем, что прямые BF и BM симметричны относительно прямой BE , что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2008-2009
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	10
задача
Номер	06.4.10.2
олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2008-2009
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	9
задача
Номер	06.4.9.2