Условие
В треугольнике
ABC проведена биссектриса
BD (точка
D лежит на отрезке
AC ). Прямая
BD пересекает окружность
Ω ,
описанную около треугольника
ABC , в точках
B и
E . Окружность
ω , построенная на отрезке
DE как на диаметре,
пересекает окружность
Ω в точках
E и
F . Докажите, что прямая, симметричная прямой
BF относительно прямой
BD ,
содержит медиану треугольника
ABC .
Решение
Пусть
M — середина стороны
AC , прямая
BM пересекает окружность
Ω вторично в точке
F' , а прямая
FM пересекает окружность
Ω
вторично в точке
B' . Так как
ABE = CBE , то
E — середина дуги
AC , поэтому
M и
E лежат на серединном перпендикуляре
к отрезку
AC . Значит,
EMD=90
o и, следовательно,
M лежит на окружности
ω . Имеем:
= B'FE =
MFE = MDE = CDE = (
+ 
)
= (
+ 
)
= 
.
Из равенства дуг
B'CE и
BAE следует, что точки
B и
B' симметричны относительно
, поэтому прямые
BM и
B'M (а стало быть,
и точки
F' и
F ) симметричны относительно
. Последнее утверждение означает, что
= 
, откуда
FBE = F'BE .
Получаем, что прямые
BF и
BM симметричны относительно прямой
BE , что и требовалось доказать.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Всероссийская олимпиада по математике |
|
год |
|
Год |
2008-2009 |
|
Этап |
|
Вариант |
5 |
|
Класс |
|
Класс |
10 |
|
задача |
|
Номер |
06.4.10.2 |
|
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Всероссийская олимпиада по математике |
|
год |
|
Год |
2008-2009 |
|
Этап |
|
Вариант |
5 |
|
Класс |
|
Класс |
9 |
|
задача |
|
Номер |
06.4.9.2 |
