ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 115511
Темы:    [ Объем круглых тел ]
[ Площадь. Одна фигура лежит внутри другой ]
Сложность: 3
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В квадратной песочнице, засыпанной ровным слоем песка высотой 1, Маша и Паша делали куличи при помощи цилиндрического ведёрка высоты 2. У Маши все куличи удались, а у Паши — рассыпались и превратились в конусы той же высоты. В итоге весь песок ушёл на куличи, поставленные на дне песочницы отдельно друг от друга. Чьих куличей оказалось в песочнице больше: Машиных или Пашиных?

Решение

Пусть в песочнице в итоге оказалось m Машиных и n  Пашиных куличей. Обозначим через S площадь основания ведёрка. Так как все куличи имеют одинаковые высоты и одинаковые объёмы, то площадь основания каждого конического кулича равна 3S (из формул объёмов цилиндра и конуса).
Площадь основания песочницы, с одной стороны, численно равна объёму всего песка, т.е. суммарному объёму 2S(m+n) всех куличей, а с другой стороны, больше суммарной площади Sm+3Sn оснований куличей, поскольку эти основания не пересекаются и, будучи кругами, не могут покрыть весь квадрат в основании песочницы. Итак, 2S(m+n)>Sm+3Sn , откуда m>n .

Ответ

Машиных куличей больше.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 73
Год 2010
класс
Класс 11
задача
Номер 2010.11.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .