Задача 115737

Темы:    [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Вспомогательные равные треугольники ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,11

Условие

Автор: Терешин Д.А.

Вокруг выпуклого четырёхугольника ABCD описаны три прямоугольника. Известно, что два из этих прямоугольников являются квадратами. Верно ли, что и третий обязательно является квадратом? (Прямоугольник описан около четырёхугольника ABCD, если на каждой стороне прямоугольника лежит по одной вершине четырёхугольника.)

Решение

  Лемма. Пусть точки A и C лежат на одной паре противоположных сторон квадрата, а B и D - на другой. Тогда условия  AC ⊥ BD  и  AC = BD  являются равносильными (рис. слева).

           

  Доказательство сразу следует из равенства прямоугольных треугольников, показанных на рисунке.

  Проведём в нашем четырёхугольнике, вписанном в два квадрата, из точки A прямую, перпендикулярную BD и отметим её точки пересечения с соответствующими сторонами квадрата: C₁ и C₂ (рис. справа).
  Из леммы вытекает, что  AC₁ = BD  и  AC₂ = BD,  то есть точки C₁, C₂ совпадают. Но у двух сторон квадратов, содержащих эти точки, имеется только одна общая точка – C. Значит, построенный нами перпендикуляр совпадает с AC, и, следовательно, диагонали четырёхугольника ABCD равны и перпендикулярны. Очевидно, что если четырёхугольник с таким свойством вписан в прямоугольник, то прямоугольник является квадратом.

Ответ

Верно.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2005
тур
задача
Номер	8