Задача 115738

Темы:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Векторы помогают решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Мякишев А.Г.

Пусть O – центр правильного треугольника ABC. Из произвольной точки P плоскости опустили перпендикуляры на стороны треугольника или их продолжения. Обозначим через M точку пересечения медиан треугольника с вершинами в основаниях этих перпендикуляров. Докажите, что M – середина отрезка PO.

Решение

  Как известно, если G – точка пересечения медиан некоторого треугольника XYZ, то для произвольной точки Р выполняется равенство:  
  Рассмотрим векторы a, b и c, начало каждого из которых расположено в точке Р, а конец – на основании перпендикуляра, опущенного из точки Р на соответствующую сторону треугольника ABC. Нам нужно доказать, что     то есть, что     Для доказательства рассмотрим еще шесть векторов, каждый из которых лежит на прямой, параллельной стороне треугольника и проходящей через точку Р.

  Начало каждого такого вектора расположено в точке Р, а конец – на одной из сторон треугольника. (На рисунке изображен случай, когда точка Р лежит внутри треугольника.) Через эти векторы легко выразить как векторы, соединяющие Р с вершинами, так и векторы с концами в основаниях перпендикуляров – поскольку параллельные линии разбивают треугольник на правильные треугольники и параллелограммы. Из рисунка видно, что указанное равенство выполняется.
  Легко убедиться в и том, что эти рассуждения проходят и в случае, когда точка Р расположена вне треугольника АВС.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2005
тур
задача
Номер	9