ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 115765
Темы:    [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Треугольники с углами 60╟ и 120╟ ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Треугольник разрезан на несколько (не менее двух) треугольников. Один из них равнобедренный (не равносторонний), а остальные – равносторонние. Найдите углы исходного треугольника.


Решение

Среди вершин неравностороннего треугольника по крайней мере одна не является вершиной исходного треугольника. Сумма углов треугольников разбиения, сходящихся в этой вершине, равна 180° или 360°. Следовательно, угол треугольника кратен 60°, и так как треугольник не равносторонний, этот угол равен 120°. Тогда два других угла этого треугольника равны 30° и, так как они не кратны 60°, соответствующие вершины находятся в вершинах исходного треугольника. Углы треугольника в этих вершинах могут равняться только 30°, 90° или 150°, при этом хотя бы один из двух углов не равен 30°, а их сумма меньше 180°. Единственный возможный вариант – 30° и 90°. Такой треугольник требуемым образом разрезать можно, например, проведя медиану из вершины прямого угла (см. рис.).





Ответ

30°, 60°, 90°.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по геометрии
год
Год 2007
тур
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .