Задача 115950

Темы:    [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ] [ Процессы и операции ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Бакаев Е.В.

Двадцать детей – десять мальчиков и десять девочек – встали в ряд. Каждый мальчик сказал, сколько детей стоит справа от него, а каждая девочка – сколько детей стоит слева от неё. Докажите, что сумма чисел, названных мальчиками, равна сумме чисел, названных девочками.

Решение 1

Мальчик, стоящий на k-м месте слева назовёт число  20 – k,  поэтому сумма чисел, названных мальчиками, равна  200 – S_m,  где S_m – сумма их мест. Девочка, стоящая на n-м месте слева назовет число  n – 1,  поэтому сумма чисел, названных девочками, равна  S_d – 10,  где S_d – сумма мест девочек. Осталось проверить, что  200 – S_m = S_d – 10.  Но это действительно так, поскольку  S_m + S_d = 1 + 2 + ... + 20 = 210.

Решение 2

Поменяем местами соседних мальчика и девочку. При этом указанные суммы одновременно либо увеличатся на 1, либо уменьшатся на 1. Действуя таким образом, мы можем получить любую расстановку детей. А в каждой расстановке, где мальчики стоят симметрично девочкам относительно центра, равенство указанных сумм очевидно.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	2012/13
Номер	34
вариант
Вариант	весенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
задача
Номер	2