Задача 115958

Темы:    [ Сумма длин диагоналей четырехугольника ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Условие

Автор: Москвитин Н.А.

Диагонали AC и BD равнобедренной трапеции ABCD пересекаются в точке O; известно также, что в трапецию можно вписать окружность.
Докажите, что  ∠BOC > 60°.

Решение

  Из неравенства треугольника следует, что  AC + BD < P_ABCD.  Поскольку  AB + CD = BC + AD,  то  2(AO + OB) = AC + BD < 2(BC + AD).
  В силу подобия равнобедренных треугольников BOC и AOD отсюда следует, что  BO < BC.  Значит, угол BO – наибольший в треугольнике, то есть этот угол больше 60╟.

Источники и прецеденты использования

задача
Номер	6