ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 115992
Темы:    [ Графики и ГМТ на координатной плоскости ]
[ Разложение на множители ]
[ Исследование квадратного трехчлена ]
[ Наибольшая или наименьшая длина ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Фольклор

Найдите наименьшее значение  x² + y²,  если  x2y² + 6x + 4y + 5 = 0.


Решение

  x² – y² + 6x + 4y + 5 = (x + 3)² – (y – 2)² = (x + y + 1)(x – y + 5) = 0.
  Таким образом, график полученного уравнения состоит из двух прямых  y = – x – 1  и  y = x + 5, которые пересекают ось ординат в точках
(0, –1)  и  (0, 5)  (см. рис.).  x² + y²  – квадрат расстояния от точки  M(x, y)  до начала координат, поэтому, его значение будет наименьшим, когда M – основание перпендикуляра, опущенного из точки  О(0, 0)  на ближайшую к этой точке прямую. Учитывая, что обе прямые отсекают от осей координат равнобедренные прямоугольные треугольники с катетами 1 и 5, получим, что ближе к точке О находится прямая  y = – x – 1,  тогда  OM  = 0,5.


Ответ

0,5.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2010/11
Класс
Класс 10
задача
Номер 10.3.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .