ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116001
Темы:    [ Арифметическая прогрессия ]
[ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Фольклор

Сумма номеров домов на одной стороне квартала равна 247. Какой номер имеет седьмой дом от угла?


Решение 1

  Пусть первый от угла дом квартала имеет номер р, а количество домов на одной стороне квартала равно k. По условию
247 = р + (р + 2) + (р + 4) + ... + (р + 2(k – 1)) = (р + k – 1)k.
  Разложение на простые множители числа 247 имеет вид 247 = 13·19. Так как  р ≥ 1,  то  р + k – 1 ≥ k,  значит,  р + k – 1 = 19,  а  k = 13,  то есть  р = 7.  Следовательно, на одной стороне квартала 13 домов, а их нумерация начинается с числа 7. Таким образом, седьмой дом (от любого угла) имеет номер 19.


Решение 2

Сумма номеров нечётна, значит, на указанной стороне квартала находятся нечётные номера и число домов нечётно. Сумма номеров (членов арифметической прогрессии) равна произведению количества домов на номер среднего дома, а  247 = 13·19.  Если номер среднего дома 13, то перед ним не поместятся 8 домов. Значит, номер среднего дома 19, и он седьмой от угла.


Ответ

19.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2010/11
Класс
Класс 10
задача
Номер 10.5.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .