ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116003
Темы:    [ Функции. Непрерывность (прочее) ]
[ Замена переменных ]
Сложность: 3
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Фольклор

Функция  f(x) определена для всех x, кроме 1, и удовлетворяет равенству:  .  Найдите  f(–1).


Решение

Подставим в данное равенство значения  x = 0  и  x = –1.  Получим:  .  Следовательно,  2f(–1) = –1 + f(–1),  то есть  f(–1) = –1.


Ответ

–1.

Замечания

  Можно решить и более общую задачу: найти  f(x) для всех значений  x ≠ 1.  Действительно, заменив в исходном равенстве x на  x+1/x–1,  получим

Подставив результат в исходное равенство, получим  2f(x) – (x + 1) = x + f(x),  то есть  f(x) = 2x + 1.
  Этот "фокус" оказался возможным в связи с тем, что функция  f(x) = x+1/x–1  обратна сама себе.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2010/11
Класс
Класс 10
задача
Номер 10.2.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .