Задача 116015

Темы:    [ Линейные неравенства и системы неравенств ] [ Задачи с неравенствами. Разбор случаев ] [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Фольклор

Пятеро друзей скинулись на покупку. Могло ли оказаться так, что каждые два из них внесли менее одной трети общей стоимости?

Решение

  Пусть друзья внесли а, b, c, d и е рублей соответственно. Тогда общая сумма S внесённых денег равна  а + b + c + d + е.
  Предположим, что каждые два друга внесли меньше чем ^S/₃ рублей. Тогда каждое из чисел  а + b,  b + c,  c + d,  d + e  и  e + a  меньше ^S/₃. Складывая, получим  2(а + b + c + d + е) < ^5S/₃,  то есть  6S < 5S.  Противоречие.

Ответ

Не могло.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2010/11
Класс
	1
Класс	9
задача
Номер	9.3.1