ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116025
Темы:    [ Шахматная раскраска ]
[ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Средние величины ]
Сложность: 3
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Прика С.

В пифагоровой таблице умножения выделили прямоугольную рамку толщиной в одну клетку, причём каждая сторона рамки состоит из нечётного числа клеток. Клетки рамки поочередно раскрасили в два цвета – чёрный и белый. Докажите, что сумма чисел в чёрных клетках равна сумме чисел в белых клетках.
Пифагорова таблица умножения – это клетчатая таблица, в которой на пересечении m-й строки и n-го столбца стоит число mn (для любых натуральных m и n).


Решение 1

Пусть углы рамки – чёрные. Каждое белое число рамки равно полусумме своих чёрных соседей по рамке, при этом каждое чёрное число входит в две полусуммы. Сложив эти равенства, получим, что сумма чисел, записанных в белых клетках, равна сумме чисел, записанных в чёрных клетках.


Решение 2

Продолжим шахматную раскраску на всю таблицу. Заметим, что среднее арифметическое чисел, стоящих в двух одноцветных клетках одного ряда (строки или столбца), равно числу в клетке, стоящей посередине между ними. Отсюда следует, что среднее арифметическое всех чисел, записанных в чёрных (белых) клетках рамки, равно числу, стоящему в центре рамки. Поскольку количество чёрных клеток в рамке равно количеству белых, то и суммы чисел, записанных в них, равны.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2010/2011
Номер 32
вариант
Вариант осенний тур, базовый вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .