|
|
 |
Условие
Квадратная доска разделена на n² прямоугольных клеток n – 1 горизонтальными и n – 1 вертикальными прямыми. Клетки раскрашены в шахматном порядке. Известно, что на одной диагонали все n клеток чёрные и квадратные. Докажите, что общая площадь всех чёрных клеток доски не меньше общей площади белых.
Решение 1
Занумеруем вертикали и горизонтали доски, начиная от чёрного угла. Пусть расстояния между прямыми равны соответственно x1, x2, ..., xn. Площади клеток равны xixj, причём для чёрных клеток i + j чётно, а для белых – нечётно. Разность между чёрной и белой площадью равна
+ ... +
+ (x1x3 + x1x5 + ... + x2x4 + x2x6 + ...) – 2(x1x2 + x1x4 + ... + x2x3 + x2x5 + ...) = (x1 – x2 + x3 – ...)² ≥ 0.
Решение 2
Чёрные клетки бывают двух сортов: одни стоят на пересечении чётных полос, другие – на пересечении нечётных. Выкидывая сначала чётные горизонтали, потом чётные вертикали, получим чёрный квадрат со стороной a. Выкидывая нечётные полосы, получим чёрный квадрат со стороной b. Итак, чёрная площадь равна a² + b² ≥ ½ (a + b)².
Замечания
1. См. также задачу М2207 из Задачника "Кванта" ("Квант", 2011, №1).
2. 5 баллов.
