ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116036
Темы:    [ Шахматная раскраска ]
[ Четность и нечетность ]
[ Неравенство Коши ]
[ Алгебраические неравенства (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Квадратная доска разделена на n² прямоугольных клеток  n – 1  горизонтальными и  n – 1  вертикальными прямыми. Клетки раскрашены в шахматном порядке. Известно, что на одной диагонали все n клеток чёрные и квадратные. Докажите, что общая площадь всех чёрных клеток доски не меньше общей площади белых.


Решение 1

Занумеруем вертикали и горизонтали доски, начиная от чёрного угла. Пусть расстояния между прямыми равны соответственно x1, x2, ..., xn. Площади клеток равны xixj, причём для чёрных клеток  i + j  чётно, а для белых – нечётно. Разность между чёрной и белой площадью равна
+ ... + + (x1x3 + x1x5 + ... + x2x4 + x2x6 + ...) – 2(x1x2 + x1x4 + ... + x2x3 + x2x5 + ...) = (x1x2 + x3 – ...)² ≥ 0.


Решение 2

Чёрные клетки бывают двух сортов: одни стоят на пересечении чётных полос, другие – на пересечении нечётных. Выкидывая сначала чётные горизонтали, потом чётные вертикали, получим чёрный квадрат со стороной a. Выкидывая нечётные полосы, получим чёрный квадрат со стороной b. Итак, чёрная площадь равна  a² + b² ≥ ½ (a + b)².

Замечания

1. См. также задачу М2207 из Задачника "Кванта" ("Квант", 2011, №1).
2. 5 баллов.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2010/2011
Номер 32
вариант
Вариант осенний тур, базовый вариант, 10-11 кл.
Задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .