|
|
 |
Условие
Петя умеет на любом отрезке отмечать точки, которые делят этот отрезок пополам или в отношении n : (n + 1), где n – любое натуральное число. Петя утверждает, что этого достаточно, чтобы на любом отрезке отметить точку, которая делит его в любом заданном рациональном отношении. Прав ли он?
Решение
Рациональное отношение – это отношение целых чисел. Чтобы поделить отрезок в отношении k : l, достаточно поделить его на m = k + l равных частей. Покажем, как это сделать, индукцией по m. База: m = 1.
Шаг индукции. Пусть мы умеем делить отрезок на любое число частей, меньшее m. Если m = 2n, разделим отрезок пополам, а потом каждую половину – на n частей. Если m = 2n + 1, разделим отрезок в отношении n : (n + 1), а затем меньший кусок поделим на n частей, а больший – на n + 1 часть.
Ответ
Петя прав.
Замечания
5 баллов
