ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116048
Темы:    [ Задачи на движение ]
[ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ]
[ Арифметическая прогрессия ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На кольцевом треке 2n велосипедистов стартовали одновременно из одной точки и поехали с постоянными различными скоростями (в одну сторону). Если после старта два велосипедиста снова оказываются одновременно в одной точке, назовём это встречей. До полудня каждые два велосипедиста встретились хотя бы раз, при этом никакие три или больше не встречались одновременно. Докажите, что до полудня у каждого велосипедиста было не менее n² встреч.


Решение

Пусть S – длина трека,  v1 < v2 < ... < v2n  – скорости велосипедистов,  u = min {v2v1, v3v2, ..., v2nv2n–1}.  Велосипедисты с номерами  i < j  встречаются через промежутки времени  .  Ясно, что самый большой из промежутков равен S/u, и нам придётся ждать до конца этого промежутка, чтобы каждый встретился со всеми остальными. Поскольку  vj – vi ≥ (j – i)u,  то за это время велосипедисты с номерами i и j успеют встретиться не менее  j – i  раз. Значит, у n-го велосипедиста будет не менее  1 + 2 + ... + (n – 1) = ½ n(n – 1)  встреч c теми, у кого номер меньше, и не менее  1 + 2 + ... + n = ½ n(n + 1)  встреч – c теми, у кого больше. Итого не менее n² встреч. Для (n+1)-го оценка та же, а у остальных ещё больше.

Замечания

1. В 8-9 классах задача предлагалась для  n = 5.

2. Баллы: 8-9 кл. – 8, 10-11 кл. – 6.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2010/2011
Номер 32
вариант
Вариант осенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
Задача
Номер 2
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2010/2011
Номер 32
вариант
Вариант осенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .