|
|
 |
Условие
В каждой клетке таблицы 1000×1000 стоит ноль или единица. Докажите, что можно либо вычеркнуть 990 строк так, что каждом столбце будет хотя бы одна невычеркнутая единица, либо вычеркнуть 990 столбцов так, что в каждой строке будет хотя бы один невычеркнутый ноль.
Решение 1
Будем по одному выбирать некоторые ряды – столбцы и строки. Плохой столбец пересекается со всеми выбранными строками по нулям, плохая строка – со всеми выбранными столбцами по единицам. Вначале ничего не выбрано, и все ряды плохие. Можно считать, что в таблице единиц не меньше, чем нолей. Тогда выберем строку, где единиц не меньше половины. Количество плохих столбцов уменьшится как минимум вдвое.
Если найдётся строка, у которой в пересечении с плохими столбцами единиц не меньше, чем нулей, выберем её. Так продолжаем выбирать, пока возможно. Далее есть три варианта.
1) Выбрано менее 10 строк, и плохих столбцов не осталось. Добавляем
к выбранным любые строки до 10, остальные вычёркиваем.
2) Выбрано 10 строк. Тогда осталось менее 1000 : 210 плохих столбцов, то есть их не осталось вообще. Вычёркиваем все строки, кроме избранных.
3) Выбрано менее 10 строк, и у каждой строки на пересечении с плохими
столбцами нулей больше, чем единиц. Тогда в плохих столбцах и всего нулей больше, чем единиц. Будем выбирать плохие столбцы по тому же принципу: берём столбец, если на его пересечении с плохими строками нолей не меньше, чем единиц. Если в итоге плохие строки закончатся, мы победили. Предположим однако, что плохие строки остались, и на пересечении каждого столбца с ними единиц
больше, чем нолей. Но тогда получается противоречие: если считать по строкам, то в клетках, стоящих на пересечении плохих строк с плохими столбцами, больше нолей, а если считать по столбцам, – больше единиц.
Замечание. Верно более сильное утверждение: можно вычеркнуть 990 строк... или 992 столбца...
Решение 2
Индукцией по m + n докажем более общее утверждение.
Пусть в каждой клетке таблицы, где менее 2m строк и менее 2n столцбов, стоит ноль или единица. Тогда можно либо оставить не более m столбцов так, что в каждой строке будет хотя бы один нуль. либо оставить не более n строк так, что каждом столбце будет хотя бы одна единица.
База (таблица 1×1) очевидна.
Шаг индукции. Пусть в таблице Т нулей не меньше, чем единиц. Тогда есть строка, где нулей не меньше половины. Отметим эту строку и оставим только столбцы, где в ней стоят единицы (если таких нет, то все доказано). В полученной таблице Т1 стобцов меньше, чем 2n–1, и по предположению индукции в Т1 можно оставить не более m "хороших" столбцов (которые будут такими и для Т) или не более n – 1 "хорошей" строки. В последнем случае, вернув этим строкам исходную длину и добавив отмеченную строку, получим "хороший" набор строк для Т.
Замечания
12 баллов
