|
|
 |
Условие
Квадрат ABCD разрезан на одинаковые прямоугольники с целыми длинами сторон. Фигура F является объединением всех прямоугольников, имеющих общие точки с диагональю AC. Докажите, что AC делит площадь фигуры F пополам.
Решение 1
Разобьём квадрат на единичные клетки. Занумеруем диагонали, параллельные AC, начиная с левого нижнего угла B. Назовём кирпичами k-го сорта те прямоугольники разбиения, у которых левая нижняя клетка принадлежит k-й диагонали.
Лемма. Количество кирпичей каждого сорта не зависит от разрезания.
Доказательство. Заметим, что кирпич n-го сорта независимо
от своего положения занимает определённое число клеток k-й диагонали
(зависящее только от n и k).
Кирпич 1-го сорта один. Пусть для кирпичей первых k – 1 сортов утверждение уже доказано. Тогда и количество клеток, занимаемых ими на k-й диагонали, от разбиения не зависит. А число кирпичей k-го сорта равно числу оставшихся на этой диагонали клеток.
Вернёмся к задаче. Под диагональю AC лежат кирпичи нескольких первых сортов. Значит, их количество не зависит от разбиения. Повернув квадрат на 180°, мы получим новое разбиение с тем же числом кирпичей под диагональю AC. Следовательно, в исходном разбиении количество кирпичей под диагональю равно количеству кирпичей над диагональю. Отсюда, очевидно, следует утверждение задачи.
Решение 2
Разобьём квадрат на единичные клетки. Рассмотрим все составленные из клеток прямоугольники нужного размера. Если такой прямоугольник имеет общие точки с AC, назовём его важным. Ниже показано, как вписать в клетки числа, чтобы для каждого важного прямоугольника сумма вписанных в него чисел была равна разности площадей его частей над AC и под AC, а для каждого не важного и у квадрата в целом такая сумма равна нулю. Так как дополнение фигуры F разбивается на не важные прямоугольники, то и сумма чисел внутри F будет равна нулю, что равносильно утверждению задачи.
Рассмотрим (клетчатые) диагонали, параллельные AC. Числа в клетках каждой диагонали будут одинаковы. Пусть размер прямоугольника m×n. В клетки диагонали AC впишем нули, в ближайшие m + n – 1 диагоналей над ней – единицы, под ней – минус единицы. Мы добились нужных сумм для важных прямоугольников. Рассмотрим ближайшую к AC незаполненную диагональ. Накроем любую её клетку прямоугольником так, чтобы она была в нём единственной не заполненной. Число клеток в его пересечении с заполненной диагональю не зависит ни от выбора незаполненной клетки, ни от положения прямоугольника. Тогда и сумма в заполненных клетках прямоугольника от этого не зависит. Впишем эту сумму с обратным знаком в каждую клетку диагонали и перейдём к заполнению следующей диагонали. Так действуем, пока все клетки не будут заполнены. В симметричных относительно AC клетках, очевидно, стоят противоположные числа, поэтому общая сумма равна нулю. Сумма в каждом не важном прямоугольнике по построению равна нулю.
Замечания
14 баллов
