Условие
Bсе ребра правильной четырехугольной
пирамиды равны 1, а все вершины лежат на боковой поверхности
(бесконечного) прямого кругового цилиндра радиуса R.
Найдите все возможные значения R.
Решение
Пусть SABCD – данная пирамида (ABCD –
единичный квадрат с центром O). Cразу заметим, что O удалена
от всех вершин пирамиды на расстояние 
(рассмотрев точку
S', симметричную S относительно O, пирамиду можно достроить
до правильного октаэдра с вершинами A, B, C, D, S, S' и центром
O). Пусть вершины пирамиды лежат на цилиндре радиуса R с осью
l; w – круговое сечение цилиндра (w имеет радиус R), проходящее
через S. Рассмотрим A', B', C', D' – точки на окружности
w, являющиеся проекциями точек A, B, C, D на плоскость
окружности w. Пусть AB не параллельна l, то есть A' ≠ B'. Так
как 
, то 
,
значит либо A' = D' и B' = C', либо
A'B'C'D' – прямоугольник, вписанный в окружность w.
Рассмотрим отдельно эти два
случая.
1) Если A' = D' и B' = C', то ребра AD и BC параллельны l, а значит A'B'S – сечение
пирамиды, проведенное через S перпендикулярно AD (см. рис. а). Тогда
A' и B' – середины ребер
AD и BC, A'B' = AB = 1, O – середина A'B',
SA' и SB' – высоты граней SAD, SBC, то есть
. Находим 
.
Наоборот, если описать вокруг серединного сечения
SA'B' пирамиды окружность w и взять прямой круговой цилиндр с направляющей w, то
AD и BC будут образующими цилиндра, то есть рассматриваемая выше конструкция
возможна.
 | |  |
| Рис. а | | Рис. б |
2) Если A'B'C'D' – прямоугольник, вписанный
в окружность w, то его центр O'
является проекцией O на плоскость w и является центром окружности w. Таким образом,
O лежит на оси цилиндра l. Заметим, что все вершины
пирамиды лежат на сфере с центром O и радиусом OS, которая
пересекает цилиндр по паре окружностей w и w', симметричных
относительно O (O не лежит в плоскости w). A и C симметричны
относительно O, поэтому одна из вершин A и C лежит
на окружности w. Aналогично, либо B, либо D лежит на
w. B любом случае, w является описанной окружностью
одного из правильных треугольников ABS, BCS, CDS,
DAS (например, см. рис. б), поэтому ее радиус равен 
.
Наоборот, в правильном октаэдре с вершинами A, B, C, D,
S, S' окружности w и w', описанные около правильных
треугольников ABS и CDS', лежат на описанной вокруг
октаэдра сфере и симметричны относительно центра сферы O,
поэтому w и w' принадлежат одному круговому цилиндру,
то есть рассматриваемая во втором случае конструкция
возможна.
Ответ
.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Московская устная олимпиада по геометрии |
|
год/номер |
|
Номер |
08 (2010 год) |
|
Дата |
2010-04-11 |
|
класс |
|
Класс |
10-11 класс |
|
задача |
|
Номер |
5 |
