|
|
 |
Условие
Постройте треугольник по стороне, радиусу вписанной окружности и радиусу вневписанной окружности, касающейся этой стороны. (Исследование проводить не требуется.)
Решение
Предположим, что искомый треугольник ABC построен. Будем считать, что известна длина стороны AC и радиусы окружностей, которые её касаются.
Пусть K, L и N – точки касания вписанной окружности со сторонами AC, AB и BC соответственно (см. рис. а), точки M, P и T – точки касания вневписанной окружности со прямыми AC, AB и BC соответственно.
Первый способ. Докажем, что NT = AC. Действительно, из равенства отрезков касательных следует, что AK = AL , BL = BN , CK = CN , откуда AC = P – BN (P – полупериметр треугольника ABC). Кроме того, BP = BT и BP + BT = AB + AM + BC + CM, откуда BT = P. Но тогда NT = P – BN , то есть, AC = NT.
| Рис. а | Рис. б |
Отсюда вытекает способ построения треугольника ABC: проведем прямую l, на которой отложим отрезок NT, равный данному (см. рис. а). Построим окружности с данными радиусами, касающиеся прямой L в точках N и T (лежащие в одной полуплоскости относительно l). Затем построим общую внутреннюю и вторую общую внешнюю касательные к этим окружностям. Тогда вершины треугольника расположены в точках попарного пересечения данных прямых.
Заметим, что наличие у данных окружностей двух общих внутренних касательных не влияет на количество решений задачи, поскольку эти касательные симметричны относительно биссектрисы угла B.
<Второй способ. Пусть I и Ib –
центры вписанной и вневписанной окружности, r и rb – их
радиусы (см. рис. б). Тогда точки I и Ib
лежат на одной прямой – биссектрисе угла B.
Следовательно, . Из доказанного выше следует, что BL = p – AC,
BP = p. То есть,
, откуда
и
. Зная
, мы можем построить угол, равный
,
а, следовательно, и угол, равный углу B.
Отсюда вытекает следующий способ построения. Построим угол, равный углу B, и впишем в него окружности с данными радиусами. Затем проведем общую внутреннюю касательную к этим окружностям.
