|
|
 |
Условие
В некоторой точке круглого острова радиусом 1 км зарыт клад. На берегу острова стоит математик с прибором, который указывает направление на клад, когда расстояние до клада не превосходит 500 м. Кроме того, у математика есть карта острова, на которой он может фиксировать все свои перемещения, выполнять измерения и геометрические построения. Математик утверждает, что у него есть алгоритм, как добраться до клада, пройдя меньше 4 км. Может ли это быть правдой?
Решение
Пусть O – центр острова, A – точка старта, w – окружность с центром в точке O и радиусом 500 м, l1 и l2 – касательные к w, параллельные OA (см. рис.).
Покажем, что можно получить сигнал прибора, пройдя менее 3,5 км, откуда следует ответ. Нужно пройти 500 м по направлению к центру острова, а затем идти по окружности w. Если мы не получили сигнала, пока двигались к центру острова, тоего нет в заштрихованной области, следовательно, его нет и внутри криволинейного треугольника OBC. Двигаясь из точки X в точку Y по большей дуге окружности w мы гарантированно получим сигнал, поскольку будут охвачены все точки острова.
Так как треугольник OBC – равносторонний, то ∠BOA = 30°, следовательно, по малой окружности мы пройдем не более 11/12π, то есть, всего будет пройдено не более, чем 11/12π + 0,5 < 3,5 км.
