|
|
 |
Условие
Фиксированы две окружности w1 и w2, одна их внешняя касательная l и одна их внутренняя касательная m. На прямой m выбирается точка X, а на прямой L строятся точки Y и Z так, что XY и XZ касаются w1 и w2 соответственно, а треугольник XYZ содержит окружности w1 и w2. Докажите, что центры окружностей, вписанных в треугольники XYZ, лежат на одной прямой.
Решение
Докажем, что точка S касания окружности, вписанной в треугольник XYZ со стороной YZ не зависит от выбора точки X. Так как точка D – фиксирована, то для этого достаточно доказать, что фиксирована длина отрезка DS. В решении будем несколько раз использовать известный факт:
Пусть окружность, вписанная в треугольник ABC, касается сторон BC, AC и AB в точках A1, B1 и C1 соответственно. Тогда AB1 = p – BC, где p – полупериметр треугольника ABC.
Итак, DS = YS – YD = (p
XYZ – XZ) – (pXYL –
XL) = (pXYZ – pXYL)
+ (XL – XZ) (см. рис.). Преобразуем
разность полупериметров отдельно: pXYZ – p
XYL = 1/2(XZ + ZL – XL) =
1/2(pXZL – 2XL
= pXZL – XL.
Тогда (PXYZ – PXYL
+ (XL – XZ) = pXZL – XL
+ (XL – XZ) = pXZL – XZ = LK. Итак, DS = LK,
причем точки L и K – фиксированы. То есть фиксирована точка S,
а значит центры окружностей,
вписанных в треугольник XYZ, лежат на прямой, проходящей через S и перпендикулярной
YZ.
Верен следующий факт (автор – Игорь Федорович Шарыгин, из задач Соросовских олимпиад): точки S, L и центры данных окружностей лежат на одной окружности, из чего также следует решение данной задачи.
