|
|
 |
Условие
Докажите, что у любого выпуклого многогранника найдутся три ребра, из которых можно составить треугольник.
Решение
Aлгебраическая лемма. Пусть x1, x2, ..., xn – положительные числа такие, что x1 ≤ x2 , xi – 1 + xi ≤ xi + 1 для всех i = 3, 4, ..., n. Тогда xi1 + ... + xik ≤ xn для любых индексов 1 ≤ i1 < i2 < ... < ik ≤ n – 2.
Доказательство. Достаточно доказать, что x1 + ... + x n – 2 ≤ xn. Если n чётно, то
Пусть теперь ребра многогранника имеют длины x1 ≤ x2 ≤ ... ≤ xn. Если нет треугольников из трех ребер, то x1 ≤ x2 < x3 < ... < xn (иначе при xi = xi + 1 отрезки x1, xi, xi + 1 образуют равнобедренный треугольник) и xi – 1 + xi ≤ xi + 1 при i = 3, ..., n. Pассмотрим две смежные грани, имеющие общее ребро xn. Запишем неравенства для длин ребер в этих гранях: xi1 + xi2 + ... + xik > xn, xj1 + xj2 + ... + xjp < xn, где i1 < i2 < ... < ik, j1 < ... < jp. По лемме ik = jp = n – 1. Это означает, что рассматриваемые грани имеют еще одно общее ребро – xn – 1. Противоречие.
Oтметим, что утверждение задачи верно и для невыпуклого многогранника.
