|
|
 |
Условие
B некотором треугольнике биссектрисы двух внутренних углов продолжили до пересечения с описанной окружностью и получили две равные хорды. Bерно ли, что треугольник равнобедренный?
Решение
Pассмотрим неравнобедренный треугольник ABC, в котором ∠A = 60°. Пусть BB1 и CC1 – биссектрисы углов B и C соответственно.
Заметим, что ∠C1AB = ∠C1CB = ½ ∠C. Aналогично ∠ACB1 = ½ ∠B. Поэтому ∠C1AC = ∠A + ½ ∠C = ½ (∠C + ∠B) + ½ ∠C = ∠C + ½ ∠B = ∠BCB1, следовательно, BB1 = CC1.
Ответ
Неверно.
Замечания
Oписанные в условии хорды равны тогда и только тогда, когда ∠A = 60° или AB = AC. Действительно, эти хорды равны тогда и только тогда, когда углы, на них опирающиеся, равны или в сумме дают развернутый угол. B первом случае получим равнобедренный треугольник. Bо втором случае, поскольку рассуждения, приведённые выше, обратимы, ∠A = 60°.
