Задача 116143

Темы:    [ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Хорды и секущие (прочее) ]

Сложность: 2+ Классы: 7,8,9

Условие

В окружности провели диаметр AB и параллельную ему хорду CD, так, что расстояние между ними равно половине радиуса этой окружности (см. рис.). Найдите угол CAB.

Решение

Пусть O – центр данной окружности, а K – основание перпендикуляра, опущенного из O на CD (см. рис.). Тогда в прямоугольном треугольнике OCK катет OK вдвое меньше гипотенузы OC, следовательно,  ∠OCK = 30°.  Поскольку  CD || AB,  то  ∠AOC = ∠OCK = 30°.  Треугольник AOC – равнобедренный, поэтому  ∠CAO = ∠ACO = (180° – 30°) : 2 = 75°.

Ответ

75°.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2010/11
Класс
	1
Класс	7
задача
Номер	7.1.2