Задача 116149

Темы:    [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]

Сложность: 2+ Классы: 7,8,9

Условие

Автор: Москвитин Н.А.

Дан квадрат ABCD. На стороне AD внутрь квадрата построен равносторонний треугольник ADE. Диагональ AC пересекает сторону ED этого треугольника в точке F. Докажите, что  CE = CF.

Решение

  ∠CDE = 90° – 60° = 30°.  Так как  CD = AD = DE,  то треугольник EDС – равнобедренный, следовательно,  ∠CED = ∠ECD = (180° – 30°) : 2 = 75°.
 ∠ CAD = 45°,  значит,  ∠AFD = 180° – (45° + 60°) = 75°.  Углы СFЕ и AFD – вертикальные, следовательно,  ∠СFЕ = ∠АFD = 75°.  Таким образом, треугольник ЕCF – равнобедренный.

Источники и прецеденты использования

задача
Номер	3
олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2010/11
Класс
	1
Класс	7
задача
Номер	7.3.2