Задача 116153

Темы:    [ Простые числа и их свойства ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Условие

Существуют ли пять таких двузначных составных чисел, что каждые два из них взаимно просты?

Решение

Каждое из составных чисел является произведением, по крайней мере, двух простых чисел. В каждом из таких произведений не может быть больше одного двузначного сомножителя, иначе это произведение будет, как минимум, трёхзначным. Значит, в разложении на простые множители каждого из искомых двузначных чисел должно присутствовать однозначное простое число. Но простых однозначных чисел всего четыре: 2, 3, 5 и 7. Следовательно, среди любых пяти составных двузначных чисел найдутся два, у которых будет общий делитель, отличный от 1.

Ответ

Не существуют.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2010/11
Класс
	1
Класс	7
задача
Номер	7.4.3