Задача 116169
|
|
 |
Условие
Пусть I – центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Oкружность, описанная около треугольника BIC, пересекает прямые AB и AC в точках E и F соответственно. Докажите, что прямая EF касается окружности, вписанной в треугольник ABC.
Решение
Предположим, что ∠B > ∠C. Угол между хордой BI и касательной, проведенной в точке B к описанной окружности Ω треугольника BIC равен
∠BIC = ½ ∠C < ½ ∠B. Поэтому касательная лежит внутри угла ABC, то есть окружность Ω не пересекает луч BA. Аналогично проверяется, что Ω пересекает отрезок CA. Таким образом, ∠IEF = ∠ICF = ∠ICB = ∠IEB, следовательно, треугольники ABC и AEF имеют общую вписанную окружность.
