|
|
 |
Условие
Постройте треугольник по стороне, противолежащему углу и медиане, проведенной к другой стороне (исследование вопроса о количестве решений не требуется).
Решение
Пусть искомый треугольник АВС, в котором: BС = a; ∠BAC = α; BM = m (M – середина АС), построен (см. рис.).
Вершина А лежит на дуге ВС окружности с центром О, описанной около треугольника, то есть, принадлежит ГМТ, из которых данный отрезок ВС виден под заданным углом α.
Точка М находится на заданном расстоянии m от точки В, то есть, лежит на окружности с центром В и радиусом m. Кроме того, точка М является серединой хорды АС, поэтому ∠ОМС = 90°, то есть, эта точка лежит на окружности с диаметром ОС.
Таким образом, этапы построения:
1) отрезок ВС длиной а;
2) ГМТ, из которых ВС виден под углом α (одна из дуг окружности с центром О);
3) окружность с центром В и радиусом m;
4) окружность диаметром ОС;
5) М – точка пересечения окружностей пунктов 3) и 4);
6) А – точка пересечения луча СМ с дугой ВС окружности пункта 2);
7) АВС – искомый треугольник.
Тот факт, что М лежит на окружности с диаметром ОС, можно было получить иначе. Так как М – геометрическое место середин хорд СА, где точка С – фиксирована, то М является образом точки А при гомотетии с центром С и коэффициентом 0,5. Поэтому, образом окружности с центром О при этой гомотетии является окружность с центром Q – серединой отрезка ОС.
