ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116179
Темы:    [ Признаки равенства прямоугольных треугольников ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Медиана, проведенная к гипотенузе ]
[ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Фольклор

В выпуклом четырёхугольнике ABCD  ∠ABC = 90°,  ∠BAC = ∠CAD,  AC = AD,  DH – высота треугольника ACD.
В каком отношении прямая BH делит отрезок CD?


Решение

  Так как угол BAC – острый, то угол CAD – острый, поэтому треугольник AСD – остроугольный. Значит, H – внутренняя точка отрезка АС.
  Пусть N – точка пересечения прямой BH и отрезка CD (см. рис.). Так как треугольники ABC и AHD равны (по гипотенузе и острому углу), то  AB = AH,  то есть треугольник ABH – равнобедренный. Пусть  ∠HBA = α,  тогда  ∠CHN = ∠BHA = α  и  ∠ACN = ½ (180° – ∠CAD) = ½ (180° – ∠CAB) = α,
NHD = 90° – α = ∠NDH.  Таким образом,  CN = HN = DN,  поэтому HN – медиана треугольника CHD.


Ответ

1 : 1.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер 01 (2003 год)
Дата 2003-04-11
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .