ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116185
Темы:    [ Признаки и свойства параллелограмма ]
[ Равные треугольники. Признаки равенства (прочее) ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
Сложность: 2+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан параллелограм ABCD. Прямая, параллельная AB, пересекает биссектрисы углов A и C в точках P и Q соответственно.
Докажите, что углы ADP и ABQ равны.


Решение 1

  Рассмотрим для определенности конфигурацию, изображенную на рис. слева. Так как CQ – биссектриса угла C, то  ∠YCQ = ∠DCQ = ∠YQC.  Cледовательно,  YQ = YC = XD.  Аналогично  XP = XA = YB.  Кроме того  ∠BYQ = ∠DXQ  в силу параллельности прямых BC и AD. Поэтому треугольники BYQ и PXD равны, откуда  ∠ADP = ∠BQY = ∠ABQ.
  Другие случаи рассматриваются аналогично.

               


Решение 2

  Пусть A1 и C1 – точки пересечения биссектрис углов A и C с прямыми CD и AB соответственно (рис. справа). Тогда
AA1D = ∠A1AD = ∠CC1B = ∠C1CB,  кроме того,  AD = BC,  поэтому равнобедренные треугольники ADA1 и CBC1 равны. Заметим, что APQC1 – параллелограмм, поэтому  AP = C1Q.  Следовательно, треугольники APD и C1QB равны по двум сторонам  (AD = C1BAP = C1Q)  и углу между ними, откуда  ∠ADP = ∠ABQ.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер 03 (2005 год)
Дата 2005-04-3
класс
Класс 8-9 класс
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .