Задача 116185

Темы:    [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Равные треугольники. Признаки равенства (прочее) ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 2+ Классы: 8,9

Условие

Автор: Акопян А.В.

Дан параллелограм ABCD. Прямая, параллельная AB, пересекает биссектрисы углов A и C в точках P и Q соответственно.
Докажите, что углы ADP и ABQ равны.

Решение 1

  Рассмотрим для определенности конфигурацию, изображенную на рис. слева. Так как CQ – биссектриса угла C, то  ∠YCQ = ∠DCQ = ∠YQC.  Cледовательно,  YQ = YC = XD.  Аналогично  XP = XA = YB.  Кроме того  ∠BYQ = ∠DXQ  в силу параллельности прямых BC и AD. Поэтому треугольники BYQ и PXD равны, откуда  ∠ADP = ∠BQY = ∠ABQ.
  Другие случаи рассматриваются аналогично.

               

Решение 2

  Пусть A₁ и C₁ – точки пересечения биссектрис углов A и C с прямыми CD и AB соответственно (рис. справа). Тогда
∠AA₁D = ∠A₁AD = ∠CC₁B = ∠C₁CB,  кроме того,  AD = BC,  поэтому равнобедренные треугольники ADA₁ и CBC₁ равны. Заметим, что APQC₁ – параллелограмм, поэтому  AP = C₁Q.  Следовательно, треугольники APD и C₁QB равны по двум сторонам  (AD = C₁B,  AP = C₁Q)  и углу между ними, откуда  ∠ADP = ∠ABQ.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер	03 (2005 год)
Дата	2005-04-3
класс
Класс	8-9 класс
задача
Номер	2