|
|
 |
Условие
Дан шестиугольник ABCDEF, в котором AB = BC, CD = DE, EF = FA, а углы A и C — прямые. Докажите, что прямые FD и BE перпендикулярны.
Решение
Первый способ.
Лемма. Диагонали четырехугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда суммы квадратов его противоположных ребер равны.
Необходимость условия вытекает из теоремы Пифагора. Достаточность можно доказать различными способами:
1) Пусть для сторон четырехугольника KLMN выполняется равенство KL2 + MN2 = LM2 + NK2. Опустим перпендикуляры MX и KY на LN (см. рис. а). Тогда MX2 = LM2 – LX2 = MN2 – XN2 и KY2 = KN2 – NY2 = KL2 –LY2. Cледовательно, LY2 – Y N2 = LK2 – KN2 = LM2 – MN2 = LX2 – XN2, то есть LN · (LY – YN) = LN · (LX – XN), следовательно, точки X и Y совпадают и LN ⊥ KM.
2) Пусть в четырехугольнике KLMN со сторонами a, b, c и d диагонали пересекаются в точке E (см. рис. б). Предположим, что угол α — острый. Тогда из теоремы косинусов для треугольников KEL и MEN следует, что a2 < x2 + y2 и c2 < z2 + t2, то есть, a2 + c2 < x2 + y2 + z2 + t2. Аналогично, из теоремы косинусов для треугольников LEM и KEN следует, что b2 > z2 + y2 и d2 > x2 + t2, то есть, b2 + d2 > x2 + y2 + z2 + t2. Получили противоречие, так как по условию a2 + c2 = b2 + d2. Cледовательно, LN ⊥ KM.
Теперь для решения задачи достаточно применить доказанную лемму к четырехугольнику BDEF (см. рис. в). Действительно, по теореме Пифагора для треугольников BCD и ABF
| Рис. а | Рис. б | Рис. в | Рис. г |
Второй способ. Рассмотрим окружности с центрами D и F и радиусами DC и EF соответственно (см. рис. г). Тогда BA = BC — касательные к этим окружностям, а точка E принадлежит обеим окружностям, поэтому BE — их радикальная ось, и следовательно, она перпендикулярна линии центров FD.
