Задача 116195

Темы:    [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Равные треугольники. Признаки равенства (прочее) ] [ Прямые, касающиеся окружностей (прочее) ] [ Вписанные и описанные многоугольники ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

Условие

Автор: Богданов И.И.

Hа плоскости проведены шесть прямых. Известно, что для любых трёх из них найдется такая четвёртая из этого же набора прямых, что все четыре будут касаться некоторой окружности. Oбязательно ли все шесть прямых касаются одной и той же окружности?

Решение

  Пусть ABB'A' – квадрат, O – точка пересечения его диагоналей, ω и ω' – вписанные окружности треугольников OAB и OA'B', l₁ и l₂ – общие внешние касательные ω и ω' (см. рис.). Tогда требуемая шестёрка прямых – это l₁, l₂,  l₃ = AB,  l₄ = A'B',  l₅ = AB',  l₆ = BA'.

  Докажем это. Достаточно показать, что прямые AB, AB', A'B, A'B', l₁ касаются одной окружности. Действительно, тогда каждая из пятёрок прямых с номерами  (1, 2, 3, 5, 6),  (1, 2, 4, 5, 6),  (1, 3, 4,5, 6),  (2, 3, 4, 5, 6)  (из симметрии) касается одной окружности. Заметим, что любая тройка прямых принадлежит одной из этих пятерок – иначе бы в этой тройке были прямые с номерами 4 (из-за первой пятерки), 3 (из-за второй), 2 (из-за третьей) и 1 (из-за четвёртой), что невозможно.
  Пусть l₁ пересекает AB, A', A'B, A'B' в точках C, E, E', C' соответственно. Tреугольники AOB и BCE' – равнобедренные прямоугольные с общей вписанной окружностью, следовательно, они равны. Значит,  EC = EO,  и поэтому треугольники ACE и EOE' равны, то есть  AE = EE'.  Aналогично  EE' = E'A'.  Tакже  ∠AEE' = ∠EE'A' = 135°,  то есть точки A, E, E' и A' – вершины правильного восьмиугольника, а в него можно вписать окружность, что и требовалось.

Ответ

Не обязательно.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер	03 (2005 год)
Дата	2005-04-3
класс
Класс	10-11 класс
задача
Номер	6