ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 116230
УсловиеРассматриваются ортогональные проекции данного правильного тетраэдра с единичным ребром на всевозможные плоскости. Какое наибольшее значение может принимать радиус круга, содержащегося в такой проекции? РешениеПусть A, B, C и D — вершины этого тетраэдра,
O — его центр (см. рис. а).
Спроецируем тетраэдр ортогонально на некоторую плоскость π. Обозначим через A',
B', C', D' и O'
ортогональные проекции точек A, B, C, D и O на плоскость π соответственно.
Если плоскость π
параллельна рёбрам AB и CD, то проекция представляет собой квадрат с диагональю длины 1 (см.
рис. б). В этот квадрат можно вписать круг радиуса Приведём два способа дальнейшего решения задачи. Первый способ. Предположим, что найдётся такая плоскость π, что ортогональная проекция
правильного тетраэдра ABCD с ребром длины 1 на эту плоскость содержит некоторый круг с
центром в точке I и радиусом R >
Второй способ. Покажем, что ни в какой
ортогональной проекции тетраэдра нельзя расположить
круг, радиус которого больше, чем Проекция тетраэдра — это или треугольник, или четырёхугольник. Если проекция —
треугольник, то это проекция грани тетраэдра. Пусть, для определённости, это грань ABC (см.
рис. е). В эту грань тетраэдра впишем окружность с центром в точке Q и
радиусом
Если проекция — четырёхугольник (см. рис. з), пусть для определённости
это A'B'C'D', то
середины его сторон являются вершинами параллелограмма с центром в точке P и диагоналями, не
превосходящими
Источники и прецеденты использования |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |