ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116240
Темы:    [ Вписанный угол равен половине центрального ]
[ Равные треугольники. Признаки равенства (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На столе лежит картонный круг радиуса 5 см. Петя, пока возможно, прикладывает к кругу снаружи картонные квадраты со стороной 5 см так, чтобы выполнялись условия:
  1) у каждого квадрата одна вершина лежит на границе круга;
  2) квадраты не пересекаются;
  3) каждый следующий квадрат касается предыдущего вершиной к вершине.
Определите, сколько квадратов может выложить Петя, и докажите, что последний и первый квадрат тоже коснутся вершинами.


Решение

  Если вершина A квадрата ABCD лежит на окружности с центром O, то точки B, D и O лежат на окружности радиуса 5 см с центром A. Вписанный угол BOD равен 45°, то есть каждый выложенный квадрат виден из центра под углом 45°. Границы соседних углов совпадают, поэтому всего Петя сможет выложить 8 квадратов.
  Пусть EDFG – еще один выложенный квадрат (E лежит на окружности). OADE – ромб, поэтому  ∠OAD = ∠OED.  Отсюда
OAB = 360° – 90° – ∠OAD = 360° – 90° – ∠OED = ∠OEG.
  Треугольники OAB и OEG равны по двум сторонам и углу, значит,  OB = OG.  Итак, вершины квадратов, противоположные общей вершине, равноудалены от O. Таким образом, одна из вершин первого квадрата и одна из вершин восьмого лежат на одном и том же луче, выходящем из O, на одинаковом расстоянии от O. Поэтому они совпадают.


Ответ

8 квадратов.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2009/2010
Номер 31
вариант
Вариант осенний тур, базовый вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .