ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116244
Темы:    [ Параллельность прямых и плоскостей ]
[ Векторы помогают решить задачу ]
Сложность: 3
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В пространстве расположена замкнутая шестизвенная ломаная ABCDEF, противоположные звенья которой параллельны  (AB || DE,  BC || EF  и
CD || FA).  При этом AB не равно DE. Докажите, что все звенья ломаной лежат в одной плоскости.


Решение 1

Плоскости AEF и BCD параллельны (в них есть по паре параллельных прямых). Если бы они не совпадали, то высекали бы на параллельных прямых AB и DE равные отрезки AB и DE. Значит, все точки лежат в плоскости AEF.


Решение 2

Вектор    двумя разными способами выражается через векторы   ,   и  :
    ,
(a ≠ 1).  Поэтому векторы   ,    и    компланарны.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2009/2010
Номер 31
вариант
Вариант осенний тур, базовый вариант, 10-11 класс
Задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .