ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116250
Темы:    [ Целочисленные решетки (прочее) ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Можно ли так раскрасить все клетки бесконечной клетчатой плоскости в белый и чёрный цвета, чтобы каждая вертикальная прямая и каждая горизонтальная прямая пересекали конечное число белых клеток, а каждая наклонная прямая конечное число чёрных?


Решение

Введём такую систему координат Oxy, чтобы вертикальные и горизонтальные и линии сетки имели уравнения  x = n  и  y = m  (n и m – целые). Раскрасим в чёрный цвет те и только те клетки, все точки которых удовлетворяют одному из неравенств  |y| ≥ x²  или  |x| ≥ y²  (см. рис.), остальные клетки покрасим в белый цвет.

Всякая вертикальная прямая будет пересекать конечное число белых клеток между параболами  y = ± x²,  всякая горизонтальная – конечное число белых клеток между параболами  y = ± x².  Всякая наклонная прямая будет пересекать лишь конечное число чёрных клеток, так как её пересечение с каждой из четырёх "чёрных" областей может быть либо пустым, либо являться точкой, либо отрезком.


Ответ

Можно.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Год 2013
Номер 76
класс
Класс 11
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .