Задача 116250

Темы:    [ Целочисленные решетки (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Автор: Лопатников А.А.

Можно ли так раскрасить все клетки бесконечной клетчатой плоскости в белый и чёрный цвета, чтобы каждая вертикальная прямая и каждая горизонтальная прямая пересекали конечное число белых клеток, а каждая наклонная прямая конечное число чёрных?

Решение

Введём такую систему координат Oxy, чтобы вертикальные и горизонтальные и линии сетки имели уравнения  x = n  и  y = m  (n и m – целые). Раскрасим в чёрный цвет те и только те клетки, все точки которых удовлетворяют одному из неравенств  |y| ≥ x²  или  |x| ≥ y²  (см. рис.), остальные клетки покрасим в белый цвет.

Всякая вертикальная прямая будет пересекать конечное число белых клеток между параболами  y = ± x²,  всякая горизонтальная – конечное число белых клеток между параболами  y = ± x².  Всякая наклонная прямая будет пересекать лишь конечное число чёрных клеток, так как её пересечение с каждой из четырёх "чёрных" областей может быть либо пустым, либо являться точкой, либо отрезком.

Ответ

Можно.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Год	2013
Номер	76
класс
Класс	11
задача
Номер	4