|
|
 |
Условие
Три спортсмена стартовали одновременно из точки A и бежали по прямой в точку B каждый со своей постоянной скоростью. Добежав до точки B, каждый из них мгновенно повернул обратно и бежал с другой постоянной скоростью к финишу в точке A. Их тренер бежал рядом и все время находился в точке, сумма расстояний от которой до участников забега была наименьшей. Известно, что расстояние от A до B равно 60 м и все спортсмены финишировали одновременно. Мог ли тренер пробежать меньше 100 м?
Решение
Присвоим номера спортсменам по убыванию их скоростей на старте. Нарисуем графики их движения, откладывая время по оси абсцисс, а расстояние до точки A – по оси ординат. Пусть O – начало координат, S – точка на оси ординат сооответствующая точке B, (OS = 60 м), K, L, M – точки на графиках трёх спортсменов в момент их нахождения в точке B, T – точка на оси абсцисс, соответствующая моменту финиша, P, Q, R – точки, соответствующие моменту встречи первого и второго, второго и третьего, третьего и первого спортсменов соответственно, P', Q' и R' – проекции этих точек на ось ординат (см. рис.).
Обозначим длины отрезков KL, LM и OT через a, b и t соответственно. Так как KL || OT, то треугольники KPL и TPO подобны и
KP : PT = KL : OT = a : t. Аналогично LQ : QT = LM : OT = b : t и KR : RT = KM : OT = (a + b) : t. По теореме о пропорциональных отрезках
SP' : P'O = KP : PT = a : t. Отсюда OP' = 60t/a+t. Аналогично OQ' = 60t/b+t и OR' = 60t/a+b+t. Значит,
Так как b < t – a, а выражение
тем меньше, чем больше b, то
и
Квадратный трёхчлен (a + t)(2t – a) (как функция от a) принимает наибольшее значение 9t²/4 при a = t/2. Значит, l > 120t (4/3t – 1/2t) = 100.
Ответ
Не мог.
