Версия для печати
Убрать все задачи

---

На клетчатой бумаге нарисован замкнутый путь (по линиям сетки). Доказать, что он имеет чётную длину (сторона клетки имеет длину 1).

   Решение

Темы:    [ Задачи на движение ] [ Экстремальные свойства (прочее) ] [ Графики и ГМТ на координатной плоскости ] [ Исследование квадратного трехчлена ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Три спортсмена стартовали одновременно из точки A и бежали по прямой в точку B каждый со своей постоянной скоростью. Добежав до точки B, каждый из них мгновенно повернул обратно и бежал с другой постоянной скоростью к финишу в точке A. Их тренер бежал рядом и все время находился в точке, сумма расстояний от которой до участников забега была наименьшей. Известно, что расстояние от A до B равно 60 м и все спортсмены финишировали одновременно. Мог ли тренер пробежать меньше 100 м?

Решение

  Присвоим номера спортсменам по убыванию их скоростей на старте. Нарисуем графики их движения, откладывая время по оси абсцисс, а расстояние до точки A – по оси ординат. Пусть O – начало координат, S – точка на оси ординат сооответствующая точке B,   (OS = 60 м),  K, L, M – точки на графиках трёх спортсменов в момент их нахождения в точке B, T – точка на оси абсцисс, соответствующая моменту финиша, P, Q, R – точки, соответствующие моменту встречи первого и второго, второго и третьего, третьего и первого спортсменов соответственно, P', Q' и R' – проекции этих точек на ось ординат (см. рис.).

  Заметим, что для любых трёх заданных точек на прямой существует единственная точка, сумма расстояний от которой до заданных будет минимальной – это средняя из трёх заданных точек. Следовательно, тренер всегда будет находиться рядом со спортсменом, который находился между двумя другими. Тогда график движения тренера описывается ломаной OPRQT, а длина l его пути равна  OP' + P'R' + R'Q' + Q'O.

  Обозначим длины отрезков KL, LM и OT через a, b и t соответственно. Так как  KL || OT,  то треугольники KPL и TPO подобны и
KP : PT = KL : OT = a : t.  Аналогично  LQ : QT = LM : OT = b : t  и  KR : RT = KM : OT = (a + b) : t.  По теореме о пропорциональных отрезках
SP' : P'O = KP : PT = a : t.  Отсюда  OP' = ^60t/_a+t.  Аналогично  OQ' = ^60t/_b+t  и  OR' = ^60t/_a+b+t.  Значит,

  Так как  b < t – a,  а выражение     тем меньше, чем больше b, то    и

  Квадратный трёхчлен  (a + t)(2t – a)  (как функция от a) принимает наибольшее значение  ^9t²/₄  при  a = ^t/₂.  Значит,  l > 120t (⁴/_3t – ¹/_2t) = 100.

Ответ

Не мог.

Источники и прецеденты использования