ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116257
Темы:    [ Простые числа и их свойства ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Найдите все такие натуральные числа a и b, что  (a + b²)(b + a²)  является целой степенью двойки.


Решение 1

  Каждая скобка является степенью двойки. Поэтому числа a и b одной чётности. Можно считать, что  a ≥ b.  Разберём два случая.
  1)  a = b.  Тогда  a² + a = a(a + 1)  – степень двойки. Числа a и  a + 1  – степени двойки разной четности, следовательно,  a = 1.
  2)  a > b.  Тогда  a² + b = 2m > b² + a = 2n.  Имеем   (2m–n – 1)·2n = a² – b² + ba = (a – b)(a + b – 1).   a – b  чётно, а  a + b – 1  нечётно, следовательно,
a – b = 2n = a + b².  Противоречие.


Решение 2

  Пусть  a = 2kmb = 2ln,  где m и n нечётны. Можно считать, что  kl.  Тогда   a² + b = 22km² + 2ln = 2l(22k–lm² + n).   Последняя скобка чётна только при  2kl = 0,  то есть при  k = l = 0.  Итак, a и b нечётны.
  Значит,  a + 1 = 2pr,  b + 1 = 2qs,  где r и s нечётны,  p ≥ 1,  q ≥ 1.  Можно считать, что  pq.  Нетрудно убедиться, что
a² + b = 22pr² – 2p+1r + 2qs = 2q(22p–lr² – 2pl+1r + s).   Число  22p–lr² – 2pq+1r + s  нечётно, значит, равно 1. Первый член по модулю не меньше второго, поэтому такое равенство возможно только при  p = r = s = 1.  Но тогда и  q = 1,  то есть  a = b = 1.


Ответ

a = b = 1.

Замечания

1. См. также задачу М2163 из Задачника "Кванта" ("Квант", 2010, №1).
2. 6 баллов.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2009/2010
Номер 31
вариант
Вариант осенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .