|
|
 |
Условие
Из гирек весами 1 г, 2 г, ..., N г требуется выбрать несколько (больше одной) с суммарным весом, равным среднему весу оставшихся гирек. Докажите, что
а) это можно сделать, если N + 1 – квадрат целого числа.
б) если это можно сделать, то N + 1 – квадрат целого числа.
Решение
а) Пусть N + 1 = k². Сумма весов гирек веса 1, 2, ..., k равна ½ (k² + k). Среднее арифметическое оставшихся последовательных чисел равно полусумме крайних, то есть ½ (k + 1 + k² – 1) = ½ (k² + k).
б) Общий вес всех гирек равен ½ (N² + N). Пусть мы выбрали k гирек общим весом S так, что средний вес оставшихся N – k гирек равен S. Добавив к ним мысленно гирьку веса S, мы не изменим средний вес, то есть 2S(N – k + 1) = N² + N.
Отсюда 2S > N + k (ибо N² + N > N² + N – k² + k = (N + k)(N – k + 1) ).
С другой стороны, если мы выбираем k наименьших гирь, то средний вес оставшихся будет наибольшим и равным ½ (N + k + 1), то есть (при любом выборе гирь) 2S ≤ N + k + 1.
Итак, единственный возможный вариант – выбрать k наименьших гирь, удвоенный общий вес k² + k которых должен равняться N + k + 1. Отсюда, N + 1 = k².
