ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116259
Тема:    [ Средние величины ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Из гирек весами 1 г, 2 г, ..., N г требуется выбрать несколько (больше одной) с суммарным весом, равным среднему весу оставшихся гирек. Докажите, что
  а) это можно сделать, если  N + 1  – квадрат целого числа.
  б) если это можно сделать, то  N + 1  – квадрат целого числа.


Решение

  а) Пусть  N + 1 = k².  Сумма весов гирек веса 1, 2, ..., k равна  ½ (k² + k).  Среднее арифметическое оставшихся последовательных чисел равно полусумме крайних, то есть  ½ (k + 1 + k² – 1) = ½ (k² + k).

  б) Общий вес всех гирек равен  ½ (N² + N).  Пусть мы выбрали k гирек общим весом S так, что средний вес оставшихся  Nk  гирек равен S. Добавив к ним мысленно гирьку веса S, мы не изменим средний вес, то есть  2S(Nk + 1) = N² + N.
  Отсюда  2S > N + k  (ибо  N² + N > N² + N – k² + k = (N + k)(N – k + 1) ).
  С другой стороны, если мы выбираем k наименьших гирь, то средний вес оставшихся будет наибольшим и равным  ½ (N + k + 1),  то есть (при любом выборе гирь)  2S ≤ N + k + 1.
  Итак, единственный возможный вариант – выбрать k наименьших гирь, удвоенный общий вес  k² + k  которых должен равняться  N + k + 1.  Отсюда,  N + 1 = k².

Замечания

2+7 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2009/2010
Номер 31
вариант
Вариант осенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .