Задача 116271
|
|
 |
Условие
Четыре перпендикуляра, опущенные из вершин выпуклого пятиугольника на противоположные стороны, пересекаются в одной точке.
Докажите, что пятый такой перпендикуляр тоже проходит через эту точку.
Решение
Пусть O – точка пересечения перпендикуляров, опущенных из вершин A, B, C и D пятиугольника ABCDE на противолежащие стороны. Нетрудно убедиться, что точка O не может совпадать с вершиной пятиугольника. Пусть OA ⊥ CD. Тогда , то есть
. Аналогично из OB ⊥ DE, OC ⊥ EA, OD ⊥ AB получаем равенства
,
,
. Но тогда и
, то есть
. Значит, OE ⊥ BC.
Замечания
5 баллов
