Задача 116370
|
|
 |
Условие
На дверце сейфа написано произведение степеней anbmck. Чтобы дверца открылась, надо заменить каждую из шести букв натуральным числом так, чтобы в произведении получился куб натурального числа. Пинки, не подумав, уже заменил какие-то три буквы числами. Всегда ли Брейн сможет заменить три оставшиеся, чтобы дверца открылась?Решение
Разберем два случая.
I. Если Пинки заменил в~каждой из трех степеней только одну из букв, то Брейн может просто сделать каждый из трех сомножителей полным кубом. Действительно, если в выражении вида xy заменена только одна буква, то выбором оставшейся легко сделать его полным кубом (для этого можно либо x заменить на полный куб, либо y на число, кратное трем).
II. Пусть в каком-то из трех множителей Пинки заменил обе буквы. Тогда в каком-то из множителей, наоборот, не заменено ни одной. Пусть, например, это ck. Тогда Брейн может, например, подставить вместо c значение выражения anbm, а вместо k подставить двойку – и все произведение будет равно кубу числа anbm.
